这是一道交互题。

有 $n+1$ 个人，由 $0$ 至 $n$ 编号。第 $i(0 \le i \le n-1)$ 个人有一个 $[0,2^m-1]$ 之间的整数 $a_i$。

编号为 $n$ 的人希望知道 $a_0+a_1+\cdots+a_{n-1}$ 的值。为此，他们可以进行如下通讯：

1. 首先，选定通讯的秒数 $N$。
2. 接下来的 $N$ 秒中的每一秒，所有 $i(0 \le i \le n-1)$ 同时向 $(i+1)$ 发送一个比特的信息。
   • 该消息会在下一秒开始前收到。特别地，最后一秒发出的信息不会被收到。
   • 除此之外，不允许任何其他形式的通讯。

你需要用尽可能少的通讯秒数完成这个任务。

实现细节

请确保你的程序开头有 #include "mpc.h"。

你不需要也不应该实现主函数。你需要实现以下两个函数：

int precalc(int n, int m);

• n 表示人数，m 表示整数的值域。
• 你需要返回通讯的秒数 $N$。

bool transmit(player &player, int round, int position);

• round 表示目前通讯的秒数，其取值为 $[1,N]$ 中的整数；
• position 表示当前传递信息的人的编号，其取值为 $[0,n]$ 中的整数；
• player 为一个结构体类型，描述了当前传递信息的人。该结构体实现在 mpc.h 中。其包含以下两个成员变量：
  • 布尔类型变量 last_message，表示上一秒上一个人传递的信息。若 position 为 $0$ 或 round 为 $1$，则 last_message 的值一定为 $0$；
  • 长度为 $4096$ 的整型数组 memory，描述当前传递信息的人的“记忆”。
    • 在 transmit 函数中，这个数组可以被任意修改。
    • player.memory 只可能在 transmit 函数中被修改。若 transmit 函数中不对 player.memory 进行修改，则同一个人多次传递信息时，player.memory 都存储相同的值。
    • player.memory 的初始值按照以下规则设定：
      • position 不为 $n$ 时，memory 的 $0$ 到 $m-1$ 位取值为 $\{0,1\}$，从低位到高位描述 $a_{\text{position}}$ 的二进制表示（即第 $i$ 位对应位权 $2^i$ 的位），而其余位置为 $0$；
      • 否则，该数组的所有位置均为 $0$。
• 你需要返回这个人在这一秒传递给下一个人的信息。
  • 当 position 为 $n$ 时或 round 为 $N$ 时，该返回值不会产生任何影响。

在所有 transmit 调用结束后，你需要保证编号为 $n$ 的人的 player.memory 中前 $2200$ 位取值均属于 $\{0,1\}$，且对应的二进制数是所有 $a_i$ 的和。

在满足题目条件和数据范围的情况下，交互库至多消耗 $0.15$ 秒的时间以及 $128\text{MiB}$ 的空间。

在程序中使用其他形式的通讯，包括但不限于使用全局变量，会被视为攻击交互库。

测试程序方式

试题目录下提供了一个交互库的参考实现 grader.cpp。最终测试时所用的交互库实现与该实现有不同，因此选手的解法不应依赖交互库的具体实现。

你需要在本题目录下使用以下编译命令得到可执行程序：

g++ mpc.cpp grader.cpp -o mpc -O2 -std=c++17 -lm

可执行文件将从标准输入读入以下格式的数据：

• 第一行两个整数 $n, m$，
• 接下来 $n$ 行每行 $m$ 个 01 整数，从低到高表示每个人的整数的二进制表示，每行的两个整数之间用一个空格分隔。

读入完成后，交互库会先调用一次 init(n,m) 函数得到 $N$，然后进行 $\max(0,N)$ 轮调用，第 $k(1 \le k \le \max(0,N))$ 轮调用会调用所有 $\text{round}=k$ 的 transmit 函数，并在调用完之后更新相应的 player.last_message 的值。

• 若 $N \le 0$，则不会进行任何调用，所有 player.memory 为其初始值。

若你的程序正确运行，可执行文件会输出以下格式的数据：

• 第一行一个长度为 $2200$ 的字符串，表示所有 $a_i$ 的和，按二进制从低位到高位输出。
• 第二行一个字符串，依次输出所有交互完毕后编号为 $n$ 的人的 player.memory 中前 $2200$ 个位置表示的数，相邻两个数之间没有空格。
• 第三行，如果上述两个字符串不同，那么会告知你答案错误；不然，会输出你在这组数据上的得分。

本题目录中同时下发了样例 1.in，1.ans 以及一个样例程序 mpc.cpp。该样例程序可以通过下发的样例。

子任务

对于所有测试数据，$1 \le n,m \le 2000$。

本题共有 10 个子任务，每个子任务 10 分。

评分方式

本题首先会受到和传统题相同的限制，例如编译错误会导致整道题目得 0 分，运行时错误、超过时间限制、超过空间限制等会导致相应测试点得 0 分等。

在上述条件以外，在一个测试点中，若 $N > n+m+100$，或者在所有的 transmit 调用结束后编号为 $n$ 的人的 player.memory 中前 $2200$ 位对应的二进制数不是所有 $a_i$ 的和，你会获得 $0$ 分。否则，根据 $(N - n - m)$ 的值，你在该测试点的分数按照以下表格计算：

你在一个子任务中的分数为该子任务中所有测试点的分数的最小值。

时间限制：$\texttt{0.5s}$

空间限制：$\texttt{512MB}$