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#685. 【CSP-S 2021】括号序列

附件下载 统计

小 w 在赛场上遇到了这样一个题:一个长度为 $n$ 且符合规范的括号序列,其有些位置已经确定了,有些位置尚未确定,求这样的括号序列一共有多少个。

身经百战的小 w 当然一眼就秒了这题,不仅如此,他还觉得一场正式比赛出这么简单的模板题也太小儿科了,于是他把这题进行了加强之后顺手扔给了小 c。

具体而言,小 w 定义“超级括号序列”是由字符 ()* 组成的字符串,并且对于某个给定的常数 $k$,给出了“符合规范的超级括号序列”的定义如下:

  1. ()(S) 均是符合规范的超级括号序列,其中 S 表示任意一个仅由不超过 $\boldsymbol{k}$ 字符 * 组成的非空字符串(以下两条规则中的 S 均为此含义);
  2. 如果字符串 AB 均为符合规范的超级括号序列,那么字符串 ABASB 均为符合规范的超级括号序列,其中 AB 表示把字符串 A 和字符串 B 拼接在一起形成的字符串;
  3. 如果字符串 A 为符合规范的超级括号序列,那么字符串 (A)(SA)(AS) 均为符合规范的超级括号序列。
  4. 所有符合规范的超级括号序列均可通过上述 3 条规则得到。

例如,若 $k = 3$,则字符串 ((**()*(*))*)(***) 是符合规范的超级括号序列,但字符串 *()(*()*)((**))*)(****(*)) 均不是。特别地,空字符串也不被视为符合规范的超级括号序列。

现在给出一个长度为 $n$ 的超级括号序列,其中有一些位置的字符已经确定,另外一些位置的字符尚未确定(用 ? 表示)。小 w 希望能计算出:有多少种将所有尚未确定的字符一一确定的方法,使得得到的字符串是一个符合规范的超级括号序列?

可怜的小 c 并不会做这道题,于是只好请求你来帮忙。

输入格式

第一行,两个正整数 $n, k$。

第二行,一个长度为 $n$ 且仅由 ()*? 构成的字符串 $S$。

输出格式

输出一个非负整数表示答案对 ${10}^9 + 7$ 取模的结果。

样例一

input

7 3
(*??*??

output

5

explanation

如下几种方案是符合规范的:

(**)*()
(**(*))
(*(**))
(*)**()
(*)(**)

样例二

input

10 2
???(*??(?)

output

19

样例三、样例四

见附件下载。

限制与约定

测试点编号 $n \le$ 特殊性质
$1 \sim 3$ $15$
$4 \sim 8$ $40$
$9 \sim 13$ $100$
$14 \sim 15$ $500$ $S$ 串中仅含有字符 ?
$16 \sim 20$ $500$

对于 $100 \%$ 的数据,$1 \le k \le n \le 500$。

时间限制:$1\texttt{s}$

空间限制:$512\texttt{MB}$