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#602. 【WC2021】表达式求值

统计

定义二元操作符 <:对于两个长度都为 $n$ 的数组 $A, B$(下标从 $1$ 到 $n$),$A$<$B$ 的结果也是一个长度为 $n$ 的数组,记为 $C$。则有 $C[i] = \min(A[i], B[i])$($1 \le i \le n$)。

定义二元操作符 >:对于两个长度都为 $n$ 的数组 $A, B$(下标从 $1$ 到 $n$),$A$>$B$ 的结果也是一个长度为 $n$ 的数组,记为 $C$。则有 $C[i] = \max(A[i], B[i])$($1 \le i \le n$)。

现在有 $m$($1 \le m \le 10$)个长度均为 $n$ 的整数数组 $A_0, A_1, \ldots , A_{m-1}$。给定一个待计算的表达式 $E$,其满足 $E$ 中出现的每个操作数都是 $A_0, A_1, \ldots , A_{m-1}$ 其中之一,且 $E$ 中只包含 <> 两种操作符(<> 的运算优先级相同),因此该表达式的结果值也将是一个长度为 $n$ 的数组。

特殊地,表达式 $E$ 中还可能出现操作符 ?,它表示该运算符可能是 < 也可能是 >。因此若表达式中有 $t$ 个 ?,则该表达式可生成 $2^t$ 个可求确定值的表达式,从而可以得到 $2^t$ 个结果值,你的任务就是求出这 $2^t$ 个结果值(每个结果都是一个数组)中所有的元素的和。你只需要给出所有元素之和对 ${10}^9 + 7$ 取模后的值。

我们定义表达式如下:

  1. 一个长度为 $n$ 的数组 A 是表达式。

  2. 如果 A 是表达式,那么 (A) 也是表达式。

  3. 如果 A 是表达式,B 是一个长度为 $n$ 的数组,那么 A?B,A<B,A>B 也是表达式。

  4. 如果 AB 是表达式,那么 A?(B), A<(B), A>(B) 也是表达式。

输入格式

第一行两个整数 $n, m$,分别表示数组长度与数组个数。

第 $2 \sim m + 1$ 行每行 $n$ 个用空格分隔的整数,第 $i$ 行第 $j$ 个元素代表 $A_{i-2}[j]$($2 \le i \le m + 1$,$1 \le j \le n$)。

最后一行一个字符串 $S$,表示表达式 $E$。$S$ 中只包含字符 09()<>?,数字字符表示操作数的下标,例如字符 2 表示表达式中的操作数为 $A_2$。

输出格式

仅一行一个整数,表示所有 $2^t$ 个表达式的结果,它们的元素之和模 ${10}^9 + 7$ 的值。

样例一

input

2 3
3 1
2 2
2 3
1>2?0

output

9

explanation

表达式 $E$ 生成的算式有:

  1. $A_1$>$A_2$<$A_0$,其结果为 $[2, 1]$。
  2. $A_1$>$A_2$>$A_0$,其结果为 $[3, 3]$。

答案为 $2 + 1 + 3 + 3 = 9$。

样例二

input

3 3
4 3 2
2 3 1
2 3 3
1?0>2?0

output

36

样例三

input

5 3
354 321 414 205 257
458 996 554 635 730
681 374 903 966 349
2<0>2<0>(1>2)>(0<0)

output

4276

样例四

见附加文件中 ex_expr4.inex_expr4.ans

限制与约定

对于所有测试点:$1 \le n \le 5 \times {10}^4$,$1 \le m \le 10$,$|S| \le 5 \times {10}^4$,$1 \le A_i[j] \le {10}^9$。

每个测试点的具体限制见下表:

测试点编号 $n \le$ $\vert E \vert \le$ 特殊限制
$1 \sim 4$ $5$ $10$ $S$ 中不包含左右括号和问号
$5 \sim 7$ $10$ $100$ $S$ 中不包含问号
$8 \sim 9$ $2$ $5000$ $S$ 中不包含左右括号
$10 \sim 11$
$12 \sim 14$ $5000$ $S$ 中不包含问号
$15 \sim 17$ $5 \times {10}^4$ $5 \times {10}^4$
$18 \sim 20$

时间限制:$1\texttt{s}$

空间限制:$512\texttt{MB}$

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