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#562. 【NOI2020】超现实树

统计

下课铃声响起,机房里的两位女生从座位上站起来。(下面用 X1X2 代指两人)

X2:省选前的集训真难熬啊……听课、考试、讲评、补题 —— 对于现在的我来说,即使在梦里想到一道数据结构题,也会不由自主地开始思考吧。

X1:重复训练对我来说似乎并不是什么负担,但我确实感觉到解决题目带来的愉悦感在最近逐渐减弱了。也许我们需要一些精神上的“刺激”:一些不拘泥于繁复技术的智力游戏,来让我们找回对于数学和算法的兴趣。

X2:咦,我好像收到了一封用英文写的短信,似乎是……数学书上的一些片段。

题目描述

X1:我来翻译一下短信的内容。

定义:本文所述的树是归纳定义的:单独的结点构成一棵树,以一棵树作为左(或右)孩子可以构成一棵树,以两棵树分别作为左、右孩子也可以构成一棵树。仅由以上规则用有限步生成的所有结构被称为树。

X2:也就是说,这里所说的树是指非空、有根、区分左右孩子的二叉树。

X1:的确如此。接下来书上定义了两棵树的同构。

定义:称两棵树 $T, T'$ 同构,记作 $T \equiv T'$,由以下四条规则定义:

  1. 由单独结点构成的树是彼此同构的;
  2. 如果两棵树的根结点均只有左子树,并且它们的左子树同构,那么这两棵树是同构的;
  3. 如果两棵树的根结点均只有右子树,并且它们的右子树同构,那么这两棵树是同构的;
  4. 如果两棵树的根结点均有左、右子树,并且它们的左、右子树分别对应同构,那么这两棵树是同构的。

很明显,同构关系构成了所有树上的一个等价关系。为了方便,我们将同构的树看作相同的树。

X2:将同构的树看成相同的树就是说树的结点是彼此相同的。简单地说,两棵树同构当且仅当他们在结点无标号、区分左右孩子的意义下相同;我们说两棵树不同,当且仅当它们不同构。

X1:书里还定义了树的叶子:和通常的定义一样,叶子指没有任何孩子的结点

X2:这和我们熟悉的定义完全一致。嘛,数学家真是有点啰嗦……恐怕只有 X3 那种家伙会喜欢这种做派吧。

X1:我倒是对此不太反感——比起基于经验的“直觉”,准确的定义和严谨的证明还是更加让人安心。你看,下一个定义就没有那么直观了。

定义:称一棵树 $T$ 单步替换成为 $T'$,如果将 $T$ 的某一叶子结点替换为另一棵树 $T''$ 得到的树与 $T'$ 同构,记做 $T \to T'$;称一棵树 $T$ 替换成为 $T'$,记做 $T \to^{\star} T'$,如果存在自然数 $n \ge 1$ 和树 $T_1, T_2, \dots, T_n$,使得 $T \equiv T_1 \to T_2 \to \cdots T_n \equiv T'$。

X2:我来想想……所谓替换,就是删掉某个叶子结点并在对应的位置放入另一棵树,就像那个叶子结点“长出了”一个更大的子树一样;一棵树替换成为另一棵树,说明它可以经由零次、一次或多次单步替换得到那棵树。哦……我明白了!举例来说,任何一棵树都可以替换成它本身,换言之对于树 $T$,都有 $T \to^{\star} T$。下面这个图片可以帮助理解单步替换和替换的含义。

示意图

X1:你说得对。特别地,任何一棵树都可以替换得到无穷多棵不同的树,并且仅有一个结点构成的树可以替换得到任意其他的树。书上也有定义这样的东西。

定义:对于一棵树 $T$,定义 $\mathrm{grow}(T)$ 表示 $T$ 所能替换构成的树的集合,即 $\mathrm{grow}(T) = \{ T' \mid T \to^{\star} T'\}$。更近一步,如果 $\mathscr{T} = \{T_1, T_2, \dots, T_n\}$ 是一个树的有限集合,定义 $\mathrm{grow}(\mathscr{T})$ 为所有 $\mathrm{grow}(T_i)$ 的并集,其中 $i = 1, 2, \dots, n$。即 $$ \mathrm{grow}(\mathscr{T}) = \bigcup_{T_i \in \mathscr{T}} \mathrm{grow}(T). $$

X2:我们把 $\mathrm{grow}(\mathscr{T})$ 称作树的集合 $\mathscr{T}$ 所生长得到的集合吧 —— 也就是说,树的集合 $\mathscr{T}$ 所生长得到的集合包含所有可以被某个 $T \in \mathscr{T}$ 替换得到的树。不妨把树的集合叫做树林。不太严谨地说,一个树林所生长得到的新树林就是其中所有树、以所有可能的方式生长得到的树林。显而易见,一个非空树林所生长得到的树林都是无穷树林。但这个无穷树林,或者说 $\mathrm{grow}(\mathscr{T})$,并不一定包含所有的树 —— 更进一步,它甚至不一定包含“几乎所有”的树。

X1:让我来补充一下:我们称一个树林是几乎完备的(或称几乎包含了所有的树),如果仅有有限多的树不在其中。对于一个有限树林 $\mathscr{T}$ ,$\mathrm{grow}(\mathscr{T})$ 要么包含了所有的树,要么包含了几乎所有的树,要么存在无穷多棵树不在其中。如果这是一道 OI 题,出题人一定会在样例中给出三种情况的例子吧。书上的关键定理也用了和我们相同的定义。

定理(几乎完备的可判定性):一个树的集合是几乎完备的,如果仅有有限棵树不在其中。那么,对于一个给定的树的有限集合 $\mathscr{T}$,存在高效的算法判定 $\mathrm{grow}(\mathscr{T})$ 是否是几乎完备的。

X2:这个问题变成一个纯粹的 OI 题目了!让我用我们的语言来重述一下题意:给定一个有限大小的树林 $\mathscr{T}$,判定 $\mathrm{grow}(\mathscr{T})$ 是否是几乎完备的,即是否仅有有限棵树不能被树林中所包含的树生长得到

X1:也就是说,给定一个有限的树的集合 $\mathscr{T}$ ,判定是否仅有有限个树 $T$,满足 $T \notin \mathrm{grow}(\mathscr{T})$。所谓 $T \notin \mathrm{grow}(\mathscr{T})$,就是说不存在 $T' \in \mathscr{T}$,使得 $T' \to^{*} T$。这和通常的 OI 题目的确非常不同:我甚至没有想到这个问题的一个算法。

X2:我也一样,不过我很久没有感受到这种解决未知问题的冲动了。

输出格式

本题有多组测试数据,输入文件的第一行包含一个正整数 $T$,表示测试数据的组数。接下来包含恰好 $T$ 组测试数据,每组测试数据具有以下的格式:

第一行是一个正整数 $m$,表示树的集合中树的个数。接下来按照以下格式输入 $m$ 棵树:

  • 首先是一个正整数 $n$,表示树中的结点个数,结点编号为 $1,2,\cdots,n$;
  • 接下来 $n$ 行每行两个非负整数,其中第 $i$ 行从左到右包含用空格隔开的 $l_i$ 和 $r_i$,分别表示 $i$ 号结点左、右孩子结点的编号。如果左(或右)孩子不存在,那么 $l_i$ (或 $r_i$)为 $0$。当然,叶结点一定满足 $l_i=r_i=0$。
  • 输入数据保证构成一棵以 $1$ 号结点作为根结点的树。请注意:结点的编号只是为了方便输入,任何同构的树都被视为是相同的。

所输入的 $n$ 棵树中可能存在彼此同构的树;如果去除这些重复的树(即每种同构的树只留下一个),它们可以构成一个树的集合 $\mathscr{T}$。你需要判定这一树的集合所生长得到的集合 $\mathrm{grow}(\mathscr{T})$ 是否是几乎完备的。

输出格式

输出包含 $T$ 行,分别表示 $T$ 组测试数据的答案。其中,第 $i$ 行输出一个字符串:如果第 $i$ 组测试数据所输入的树的集合所生长得到的集合是几乎完备的(换言之,仅有有限棵树不能被其生长得到),那么输出 Almost Complete;否则输出 No请注意输出字符串的拼写和大小写

样例一

input

1
1
1
0 0

output

Almost Complete

explanation

这一样例仅包含一组测试数据,其中树的集合 $\mathscr{T}$ 仅包含一棵由单个结点构成的树。由于单个结点可以删去唯一的叶子结点,一步替换得到任何树, $\mathrm{grow}(\mathscr{T})$ 包含了所有树,自然是几乎完备的。

样例二

input

1
3
3
2 3
0 0
0 0
2
2 0
0 0
2
0 2
0 0

output

Almost Complete

explanation

这一样例仅包含一组测试数据,其中树的集合 $\mathscr{T}$ 包含三棵树,如下图所示。容易发现,仅有单个结点构成的树不在 $\mathrm{grow}(\mathscr{T})$ 中,其包含了几乎所有树,因而是几乎完备的。

样例解释

样例三

input

1
2
3
2 3
0 0
0 0
2
2 0
0 0

output

No

explanation

这一样例仅包含一组测试数据,其中树的集合 $\mathscr{T}$ 包含两棵树。容易发现,对于所有的 $n \ge 2$,包含 $n$ 个结点,每个非叶结点仅有右孩子的链状树都不在 $\mathrm{grow}(\mathscr{T})$ 中,因而存在无穷多棵树不在 $\mathrm{grow}(\mathscr{T})$ 中,$T$ 不是几乎完备的。

样例四

见样例数据下载。

样例五

见样例数据下载。

样例六

见样例数据下载。

数据范围

全部数据满足:$\sum n \le 2 \times 10^6$,$\sum m \le 2 \times 10^6$,$\max h \le 2 \times 10^6$,$T \le 10^2$。其中,$\sum n$ 表示这一测试点所有测试数据中所出现的所有树的结点个数之和;$\sum m$ 表示这一测试点中所有测试数据中所出现的树的个数;$\max h$ 表示这一测试点中所出现的所有树的最高高度(仅包含一个结点的树高度为 $1$)。下表中的表项 $\sum n$,$\sum m$ 和 $\max h$ 含义与上面相同,描述了每一组测试点的数据范围。

特殊性质:下面是下表中会涉及的四种特殊性质的解释。

  • 特殊性质 1:对于这一测试点中的每一组测试数据,都有 $m \le 4$,即树的集合中包括不超过 $4$ 棵树;
  • 特殊性质 2:对于这一测试点中的每一组测试数据,树的集合中所有的树具有相同的高度;
  • 特殊性质 3:对于这一测试点中的每一组测试数据,树的集合仅包含链(换言之,每个非叶结点仅包含一个孩子);
  • 特殊性质 4:对于这一测试点中的每一组测试数据,树的集合仅包含满足以下两个条件之一的树:
    • 每个非叶结点仅包含一个孩子;
    • 恰好有两个叶结点,它们具有相同的父结点,并且除这三个结点外,其余结点均有且仅有一个孩子。

每个测试点的具体限制见下表:

测试点编号 $T$ $\sum n$ $\sum m$ $\max h$ 特殊性质
1 $100$ $\le 1000$ $\le 1$
2 $\le 2$ 性质 1
3
4 $\le 1000000$ $\le 4$
5 $\le 5$ 性质 2
6 $\le 8$
7 $\le 9$ 性质 2
8 $\le 10$
9 $\le 1000000$ 性质 3
10 $20$ $\le 1000$ $\le 100$ $\le 1000$ 性质 4
11 $\le 2000$
12 $\le 100000$
13 $\le 200000$
14 $\le 800$ $\le 200$ $\le 800$
15 $\le 1000$ $\le 100$ $\le 1000$
16 $\le 2000$
17 $40$ $\le 300000$
18 $\le 600000$
19 $\le 900000$
20 $\le 1200000$
21 $\le 1500000$
22 $\le 2000000$
23
24
25

时间限制:$1\texttt{s}$

空间限制:$512\texttt{MB}$

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