【CSP-S 2019】划分 - 题目 - Universal Online Judge

2048年，第三十届 CSP 认证的考场上，作为选手的小明打开了第一题。这个题的样例有 $n$ 组数据，数据从 $1 \sim n$ 标号， $i$ 号数据的规模为 $a_{i}$ 。

小明对该题设计出了一个暴力程序，对于一组规模为 $u$ 的数据，该程序的运行时间为 $u^{2}$ 。然而这个程序运行完一组规模为 $u$ 的数据之后，它将在任何一组规模小于 $u$ 的数据上运行错误。样例中的 $a_{i}$ 不一定递增，但小明又想在不修改程序的情况下正确运行样例，于是小明决定使用一种非常原始的解决方案：将所有数据划分成若干个数据段，段内编号连续，接着将同一段内的数据合并成新数据，其规模等于段内原数据的规模之和，小明将让新数据的规模能够递增。

也就是说，小明需要找到一些分界点 $1 \leq k_{1} < k_{2} < \dots < k_{p} < n$ ，使得

$\sum_{i = 1}^{k_{1}} a_{i} \leq \sum_{i = k_{1} + 1}^{k_{2}} a_{i} \leq \dots \leq \sum_{i = k_{p} + 1}^{n} a_{i}$

注意 $p$ 可以为 $0$ 且此时 $k_{0} = 0$ ，也就是小明可以将所有数据合并在一起运行。

小明希望他的程序可以在正确运行样例情况下，运行时间也能尽量小，也就是最小化

$(\sum_{i = 1}^{k_{1}} a_{i})^{2} + (\sum_{i = k_{1} + 1}^{k_{2}} a_{i})^{2} + \dots + (\sum_{i = k_{p} + 1}^{n} a_{i})^{2}$

小明觉得这个问题非常有趣，并向你请教：给定 $n$ 和 $a_{i}$ ，请你求出最优划分方案下，小明的程序的运行时间。

输入格式

由于本题的数据范围较大，部分测试点的 $a_{i}$ 将在程序内生成。

第一行两个整数 $n, t y p e$ 。 $n$ 的意义见题目描述， $t y p e$ 表示输入方式。

若 $t y p e = 0$ ，则该测试点的 $a_{i}$ 直接给出。输入文件接下来：第二行 $n$ 个以空格分隔的整数 $a_{i}$ ，表示每组数据的规模。
若 $t y p e = 1$ ，则该测试点的 $a_{i}$ 将特殊生成，生成方式见后文。输入文件接下来：第二行六个以空格分隔的整数 $x, y, z, b_{1}, b_{2}, m$ 。接下来 $m$ 行中，第 $i (1 \leq i \leq m)$ 行包含三个以空格分隔的正整数 $p_{i}, l_{i}, r_{i}$ 。

对于 $t y p e = 1$ 的 $23 \sim 25$ 号测试点， $a_{i}$ 的生成方式如下：

给定整数 $x, y, z, b_{1}, b_{2}, m$ ，以及 $m$ 个三元组 $(p_{i}, l_{i}, r_{i})$ 。

保证 $n \geq 2$ 。若 $n > 2$ ，则 $\forall 3 \leq i \leq n, b_{i} = (x \times b_{i - 1} + y \times b_{i - 2} + z) mod 2^{30}$ 。

保证 $1 \leq p_{i} \leq n, p_{m} = n$ 。令 $p_{0} = 0$ ，则 $p_{i}$ 还满足 $\forall 0 \leq i < m$ 有 $p_{i} < p_{i + 1}$ 。

对于所有 $1 \leq j \leq m$ ，若下标值 $i (1 \leq i \leq n)$ 满足 $p_{j - 1} < i \leq p_{j}$ ，则有

$a_{i} = (b_{i} mod (r_{j} - l_{j} + 1)) + l_{j}$

上述数据生成方式仅是为了减少输入量大小，标准算法不依赖于该生成方式，

输出格式

输出一行一个整数，表示答案。

样例1

input

5 0
5 1 7 9 9

output

explanation

最优的划分方案为 ${5, 1}, {7}, {9}, {9}$ 。由 $5 + 1 \leq 7 \leq 9 \leq 9$ 知该方案合法。

答案为 $(5 + 1)^{2} + 7^{2} + 9^{2} + 9^{2} = 247$ 。

虽然划分方案 ${5}, {1}, {7}, {9}, {9}$ 对应的运行时间比 $247$ 小，但它不是一组合法方案，因为 $5 > 1$ 。

虽然划分方案 ${5}, {1, 7}, {9}, {9}$ 合法，但该方案对应的运行时间为 $251$ ，比 $247$ 大。

样例2

input

10 0
5 6 7 7 4 6 2 13 19 9

output

explanation

最优的划分方案为 ${5}, {6}, {7}, {7}, {4, 6, 2}, {13}, {19, 9}$ 。

样例3

input

10000000 1
123 456 789 12345 6789 3
2000000 123456789 987654321
7000000 234567891 876543219
10000000 456789123 567891234

output

4972194419293431240859891640

限制与约定

测试点编号	$n \leq$	$a_{i} \leq$	$t y p e =$
$1 \sim 3$	$10$	$10$	$0$
$4 \sim 6$	$50$	$10^{3}$
$7 \sim 9$	$400$	$10^{4}$
$10 \sim 16$	$5000$	$10^{5}$
$17 \sim 22$	$5 \times 10^{5}$	$10^{6}$
$23 \sim 25$	$4 \times 10^{7}$	$10^{9}$	$1$

对于所有测试数据满足 $t y p e \in 0, 1, 2 \leq n \leq 4 \times 10^{7}, 1 \leq a_{i} \leq 10^{9}, 1 \leq m \leq 10^{5}, 1 \leq l_{i} \leq r_{i} \leq 10^{9}, 0 \leq x, y, z, b_{1}, b_{2} < 2^{30}$

对于所有 $t y p e = 0$ 的测试点，保证最终答案不超过 $4 \times 10^{18}$ 。

时间限制: $2 s$

空间限制: $1 GB$

关于Hack数据

本题的hack数据对于 $t y p e = 0$ 需满足 $2 \leq n \leq 500000$ ，对于 $t y p e = 1$ 需满足 $2 \leq n \leq 40, 000, 000$ 。 ——matthew99

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Universal Online Judge

UOJ

#492. 【CSP-S 2019】划分

输入格式

输出格式

样例1

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样例2

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样例3

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限制与约定

关于Hack数据

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