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#491. 【CSP-S 2019】Emiya家今天的饭

统计

Emiya 是个擅长做菜的高中生,他共掌握 $n$ 种烹饪方法,且会使用 $m$ 种主要食材 做菜。为了方便叙述,我们对烹饪方法从 $1∼n$ 编号,对主要食材从 $1∼m$ 编号。

Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地, Emiya 会做 $a_{i,j}$ 道不同的使用烹饪方法 $i$ 和主要食材 $j$ 的菜 $(1 \leq i \leq n,1 \leq j \leq m)$,这也意味着 Emiya 总共会做 $\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{i=1}^{m} a_{i,j}$ 道不同的菜。

Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友,然而三个人对菜的搭配 有不同的要求,更具体地,对于一种包含 $k$ 道菜的搭配方案而言:

  • Emiya 不会让大家饿肚子,所以将做至少一道菜,即 $k \geq 1$。
  • Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜,因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同
  • Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜,因此他要求每种主要食材至多在一半的菜(即 $\lfloor \frac{k}{2} \rfloor$ 道菜)中被使用

这里的 $\lfloor x \rfloor$ 为下取整函数,表示不超过 $x$ 的最大整数。

这些要求难不倒 Emiya,但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同,当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现,而不在另一种方案中出现。

Emiya 找到了你,请你帮他计算,你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 $998,244,353$ 取模的结果。

输入格式

第 1 行两个用单个空格隔开的整数 $n,m$。

第 2 行至第 $n + 1$ 行,每行 $m$ 个用单个空格隔开的整数,其中第 $i + 1$ 行的 $m$ 个 数依次为 $a_{i,1},a_{i,2},...,a_{i,m}$。

输出格式

仅一行一个整数,表示所求方案数对 $998,244,353$ 取模的结果。

样例1

input

2 3
1 0 1
0 1 1

output

3

explanation

由于在这个样例中,对于每组 $i, j$,Emiya 都最多只会做一道菜,因此我们直接通 过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。

符合要求的方案包括:

  • 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
  • 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 3 的菜
  • 做一道用烹饪方法 1、主要食材 3 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜

因此输出结果为 3 mod 998,244,353 = 3。

需要注意的是,所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的,因为唯一的主要食材 在超过一半的菜中出现,这不满足 Yazid 的要求。

样例2

input

3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0

output

190

explanation

Emiya 必须至少做 2 道菜。

做 2 道菜的符合要求的方案数为 100。

做 3 道菜的符合要求的方案数为 90。

因此符合要求的方案数为 100 + 90 = 190。

样例3

input

5 5
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
1 1 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1

output

742

限制与约定

测试点编号$n \leq $$m \leq $$a_{i,j} <$
$1$$2$$2$$2$
$2$$3$
$3$$5$$2$
$4$$3$
$5$$10$$2$
$6$$3$
$7$$2$$1000$
$8$$3$
$9 \sim 12$$40$$2$
$13 \sim 16$$3$
$17 \sim 21$$500$
$22 \sim 25$$100$$2000$$998,244,353$

对于所有测试点,保证 $1 \leq n \leq 100,1 \leq m \leq 2000,0 \leq a_{i,j} < 998,244,353$。

时间限制: $1\texttt{s}$

空间限制: $256\texttt{MB}$

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