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#482. 【NOI2019】斗主地

统计

小 S 在和小 F 玩一个叫「斗地主」的游戏。

可怜的小 S 发现自己打牌并打不过小 F,所以他想要在洗牌环节动动手脚。

一副牌一共有 $n$ 张牌,从上到下依次标号为 $1 \sim n$。标号为 $i$ 的牌分数是 $f (i)$。在本题,$f (i)$ 有且仅有两种可能:$f (i) = i$ 或 $f (i) = i^2$。

洗牌的方式和我们日常生活中的比较类似,以下我们用形式化的语言来定义:

洗牌环节一共分 $m$ 轮,这 $m$ 轮洗牌依次进行。第 $i$ 轮洗牌时: 1. 小 S 会拿出从最上面往下数的前 $A_i$ 张牌。这样这副牌就被分成了两堆:第一堆是最上面的 $A_i$ 张牌,第二堆是剩下的 $n − A_i$ 张牌,且这两堆牌内相对顺序不变。特别地,当 $A_i = n$ 或 $A_i = 0$ 时,有一堆牌是空的。 2. 接下来对两堆牌进行合并,从而产生新的第三堆牌。当第一堆牌还剩下 $X$ 张,第二堆牌还剩下 $Y$ 张的时候,以 $\frac{X}{X+Y}$ 的概率取出第一堆牌的最下面的牌,并将它放入新的第三堆牌的最上面,$\frac{Y}{X+Y}$ 的概率取出第二堆牌的最下面的牌,并将它放入新的第三堆牌的最上面。 3. 重复操作 2,一直取到两堆牌都为空为止。这样我们就完成了一轮洗牌。

因为洗牌过程是随机的,所以小 S 发现自己没法知道某个位置上具体是哪张牌。但小 S 想问你在经历了这 $m$ 轮洗牌后,某个位置上的牌的期望分数是多少。小 S 一共会问你 $Q$ 个这样的问题。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入的第一行包含三个正整数 $n, m, \text{type}$,分别表示牌的数量,洗牌的轮数与 $f (i)$ 的类型。当 $\text{type} = 1$ 时,$f (i) = i$。当 $\text{type} = 2$ 时,$f (i) = i^2$。

接下来一行,一共 $m$ 个整数,表示 $A_1 \sim A_m$。

接下来一行一个正整数 $Q$,表示小 S 的询问个数。

接下来 $Q$ 行,每行一个正整数 $c_i$,表示小 S 想要知道从上往下第 $c_i$ 个位置上的牌的期望分数。保证 $1 \le c_i \le n$。

输出格式

输出到标准输出中。

输出一共 $Q$ 行,每行一个整数,表示答案在模 $998244353$ 意义下的取值。

即设答案化为最简分式后的形式为 $\frac{a}{b}$,其中 $a$ 和 $b$ 互质。输出整数 $x$ 使得 $bx \equiv a\ (\text{mod}\ 998244353)$ 且 $0 \le x < 998244353$。可以证明这样的整数 $x$ 是唯一的。

样例一

input

4 1 1
3
1
1

output

249561090

explanation

两棵树相同,所以任意两个点都必须被给予相同的数,方案数为 $2$。

有 $\frac 1 4$ 的概率从上到下的最终结果是 $\{1, 2, 3, 4\}$。

有 $\frac{1}{4}$ 的概率从上到下的最终结果是 $\{1, 2, 4, 3\}$。

有 $\frac{1}{4}$ 的概率从上到下的最终结果是 $\{1, 4, 2, 3\}$。

有 $\frac{1}{4}$ 的概率从上到下的最终结果是 $\{4, 1, 2, 3\}$。

所以最终有 $\frac{1}{4}$ 的概率第一个位置是 $4$,有 $\frac{3}{4}$ 的概率第一个位置是 $1$,所以第一个位置的期望分数是 $\frac{7}{4}$。

为了帮助你们更直观地了解洗牌的过程,我们在下面画出了结果是 $\{1, 4, 2, 3\}$ 的过程:

斗主地

样例二至样例三

见样例数据下载。

限制与约定

对于所有测试数据:$3 \le n \le 10^7 , 1 \le m, Q \le 5 \times 10^5 , 0 \le A_i \le n , \text{type} \in \{1, 2\}$。

测试点编号$n$$m$$\text{type}=$其他性质
$1$$\le 10$$\le 1$$1$
$2$$\le 80$$\le 80$$1$
$3$$\le 80$$\le 80$$2$
$4$$\le 100$$5\times 10^5$$2$所有$A_i$均相同
$5$$10^7$$5\times 10^5$$1$
$6$$10^7$$5\times 10^5$$1$
$7$$10^7$$5\times 10^5$$1$
$8$$10^7$$5\times 10^5$$2$
$9$$10^7$$5\times 10^5$$2$
$10$$10^7$$5\times 10^5$$2$

时间限制: 4s

空间限制: 512MB

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