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#399. 【CTSC2018】假面

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题目描述

针针是绿绿的好朋友。

针针喜欢玩一款叫做 DotA (Defense of the Algorithm) 的游戏,在这个游戏中,针针会操纵自己的英雄与队友一起对抗另一支队伍。
针针在 DotA 中最喜欢使用的英雄叫做假面(Faceless),该英雄有 $2$ 个技能:

  • 锁定:对一名指定的敌方单位使用,以 $p$ 的概率对该单位造成 $1$ 点伤害(使其减少 $1$ 点生命值)。
  • 结界:在一片区域施放结界,让该区域内的所有其他单位无法动弹。

在游戏中,如果一个单位的生命值降至 $0$ 或 $0$ 以下,那么该单位就会死亡。

针针操纵假面的水平一般,因此他决定勤加练习。现在有 $n$ 个敌方单位(编号从 $1$ 至 $n$),编号为 $i$ 的敌方单位有 $h_i$ 点生命值。

针针已经安排好了练习的计划,他会按顺序施放 $Q$ 个技能:

  • 对于锁定技能:针针会指定一个敌方单位 $id$ ,并对它施放。由于决定概率系数 $p$ 的因素很多,因此每次的 $p$ 都不一定相同。
    • 特别地,如果该敌方单位已经死亡,那么该技能不会造成任何效果。
  • 对于结界技能:针针会希望对 $k$ 个指定的敌方单位施放,但由于针针并不擅长施放该技能,因此他只能命中恰好 $1$ 个敌方单位。命中每个存活的敌方单位的概率是相等的(也就是说已经死亡的敌方单位不会有任何影响)。
    • 特别地,如果这 $k$ 个敌方单位均已死亡,那么该技能同样不会命中任何敌方单位。

现在,围观针针进行练习的绿绿想知道:

  1. 对于针针施放的每个结界技能,它命中各敌人的概率分别是多少。
  2. 在针针的所有技能施放完毕后,所有敌方单位剩余生命值的期望分别是多少。

由于绿绿还要围观针针训练,所以请你帮他解决这两个问题。

为了防止精度误差,对于所有需要输出的数值,请输出其在模 $998244353$ 意义下的值。

由于结界为假面的终极技能,因此针针施放该技能的次数不会太多。具体请见「子任务」。

输入格式

第 $1$ 行为 $1$ 个正整数 $n$ ,表示敌方单位的数量。

第 $2$ 行为 $n$ 个正整数 $m_1, \dots ,m_n$ ,依次表示各敌方单位的初始生命值。

第 $3$ 行为 $1$ 个非负整数 $Q$ ,表示针针施放技能的数量。

第 $4$ 行至第 $Q + 3$ 行,每行描述一个技能,第 $i + 3$ 行描述第 $i$ 个技能。

  • 每行的开头为一个整数 $op$ ,表示该技能的种类。
  • 如果 $op = 0$ ,则表示锁定技能。并在此后跟随着 $3$ 个正整数 $id , u , v$ ,表示技能施放的目标为 $id$ ,技能命中的概率为 $p = \frac{u}{v}$ 。(保证 $1\le id \le n , 0 < u \le v < 998244353$ )
  • 如果 $op = 1$ ,则表示结界技能。并在此后跟随着 $1$ 个正整数 $k$ 表示技能施放的目标数量,随后还有额外的 $k$ 个数 $id_1, \dots , id_k$ 描述技能施放的所有目标。(保证所有 $1 \le id_i \le n$ 互不相同)

对于每一行,如果行内包含多个数,则用单个空格将它们隔开。

输出格式

输出包括 $C + 1$ 行(其中 $C$ 为结界技能的数量):

  • 前 $C$ 行依次对应每个结界技能,对于每行:
  • 输出 $k$ 个数,第 $i$ 个数表示结界命中敌方单位 $id_i$ 的概率。
  • 第 $C + 1$ 行输出 $n$ 个数,第 $i$ 个数表示在所有技能施放完毕后,敌方单位 $i$ 剩余生命值的期望值。

对于每一行,如果行内包含多个数,则用单个空格将它们隔开。

对于所有数值,请输出它们对 $998244353$ 取模的结果:即设答案化为最简分式后的形式为 $\frac{a}{b}$ ,其中 $a$ 和 $b$ 的互质。输出整数 $x$ 使得 $bx \equiv a \bmod 998244353$ 且 $0 \le x < 998244353$ 。(可以证明这样的整数 $x$ 是唯一的)

样例

样例输入 1

3
1 2 3
6
0 2 1 1
1 1 2
0 2 1 1
0 3 1 1
1 1 2
1 3 1 2 3

样例输出 1

1
0
499122177 0 499122177
1 0 2

样例解释 1

针针按顺序施放如下技能:

  1. 对敌方单位 $2$ 施放技能锁定:以 $1$ 的概率对其造成 $1$ 点伤害。
    • 此时 $2$ 号敌方单位必定剩余 $1$ 点生命值。
  2. 对敌方单位 $2$ 施放技能结界:(由于 $2$ 号敌方单位尚存活,)必定命中 $2$ 号单位。
  3. 对敌方单位 $2$ 施放技能锁定:以 $1$ 的概率对其造成 $1$ 点伤害。
  4. 对敌方单位 $3$ 施放技能锁定:以1 的概率对其造成 $1$ 点伤害。
    • 此时三个敌方单位的生命值一定分别为 $1, 0 ,2$ ,敌方单位 $2$ 一定死亡。
  5. 对敌方单位 $2$ 施放技能结界:(由于 $2$ 号敌方单位已死亡,)必定不命中任何单位。
  6. 对敌方单位 $1, 2, 3$ 施放技能结界:命中敌方单位 $1, 3$ 的概率是相等的,即各 $\frac{1}{2}$ 。

最终,三个敌方单位的剩余生命值一定为 $1 , 0 , 2$ 。

样例输入 2

3
1 1 1
4
0 2 1 2
1 2 1 2
0 3 2 3
1 3 1 2 3

样例输出 2

249561089 748683265
804141285 887328314 305019108
1 499122177 332748118

样例解释 2

对于各结界技能的分析:

  1. 第 $1$ 个结界(目标为敌方单位 $1, 2$ ):
    • $2$ 号敌方单位存活的概率为 $\frac{1}{2}$ , $1$ 号敌方单位必定存活。
    • 如果 $2$ 号敌方单位存活,那么结界命中 $1 , 2$ 的概率相等,均为 $\frac{1}{2}$ ;如果 $2$ 号敌方单位死亡,那么结界必定命中 $1$ 号敌方单位。
    • 因此:命中 $1$ 号敌方单位的概率为 $ \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ ;命中 $2$ 号敌方单位的概率为 $ \frac{1}{2} \times 0 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 。
  2. 第 $2$ 个结界(目标为敌方单位 $1, 2, 3$ ):
    • 三个敌方单位存活的概率分别为 $1, \frac{1}{2} , \frac{1}{3}$ 。
    • $1 , 2 , 3$ 同时存活的概率为 $\frac{1}{6}$ ;只有 $1, 2$ 存活的概率为 $\frac{1}{3}$ ;只有 $1 , 3$ 存活的概率为 $\frac{1}{6}$ ;只有 $1$ 存活的概率为 $\frac{1}{3}$ 。
    • 因此:命中 $1$ 号敌方单位的概率为 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} + (\frac{1}{3}+\frac{1}{6}) \times \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} \times 1 = \frac{23}{36}$ ;命中 $2$ 号敌方单位的概率为 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{9}$ ;命中 $3$ 号敌方单位的概率为 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{36}$ 。

最终,三个敌方单位的剩余生命值的期望值为 $1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3}$ 。

样例 3 & 样例 4

见附加文件。

数据范围与提示

数据范围

我们记 $C$ 为结界技能的数量。

$n=$$Q=$$C=$测试点编号$u,v$其他限制
$5$$21$$6$1$u<v$
$60$$199992$$500$2所有 $p$ 均相等
$23$$6$3所有 $m_i =1$
$199994$$500$4
$199995$5
$199996$$0$6
$199997$$500$7$u=v$
$200$$199998$$1000$8$u<v$
$199999$9
$200000$10

为了优化你的阅读体验,我们把测试点编号放在了表格的中间,请注意这一点。

对于所有测试点,保证 $n \le 200 ,$ $Q \le 200000 ,$ $C \le 1000 ,$ $m_i \le 100$ 。

提示

  1. 第 $3$ 个样例满足测试点 $1$ 的数据规模限制。
  2. 第 $4$ 个样例满足限制‘‘所有 $p$ 均相等’’。事实上这个限制并不满足,这是原题面的错误,在此保留原文。
  3. $Q$ 的个位可以帮助你快速确定测试点的编号。
  4. 测试点顺序可能与难度无关。

时间限制:$6\mathtt{s}$

空间限制:$512\mathtt{MB}$

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