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#340. 【清华集训2017】小 Y 和恐怖的奴隶主

统计

题目背景

"A fight? Count me in!" 要打架了,算我一个。

"Everyone, get in here!" 所有人,都过来!

题目描述

小Y是一个喜欢玩游戏的OIer。一天,她正在玩一款游戏,要打一个Boss。

虽然这个Boss有 $10^{100}$ 点生命值,但它只带了一个随从——一个只有 $m$ 点生命值的“恐怖的奴隶主”。

这个“恐怖的奴隶主”有一个特殊的技能:每当它被扣减生命值但没有死亡(死亡即生命值 $\leq 0$),且Boss的随从数量小于上限 $k$,便会召唤一个新的具有 $m$ 点生命值的“恐怖的奴隶主”。

现在小Y可以进行 $n$ 次攻击,每次攻击时,会从Boss以及Boss的所有随从中的等概率随机选择一个,并扣减 $1$ 点生命值,她想知道进行 $n$ 次攻击后扣减Boss的生命值点数的期望。为了避免精度误差,你的答案需要对 $998244353$ 取模。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入第一行包含三个正整数 $T, m, k$,$T$ 表示询问组数,$m, k$ 的含义见题目描述。

接下来 $T$ 行,每行包含一个正整数 $n$,表示询问进行 $n$ 次攻击后扣减Boss的生命值点数的期望。

输出格式

输出到标准输出。

输出共 $T$ 行,对于每个询问输出一行一个非负整数,表示该询问的答案对 $998244353$ 取模的结果。

可以证明,所求期望一定是一个有理数,设其为 $p / q$($\mathrm{gcd}(p,q) = 1$),那么你输出的数 $x$ 要满足 $p \equiv qx \pmod{998244353}$。

样例一

input

3 2 6
1
2
3

output

499122177
415935148
471393168

explanation

对于第一次询问,第一次攻击有 $\frac{1}{2}$ 的概率扣减Boss的生命值,有 $\frac{1}{2}$ 的概率扣减随从的生命值,所以答案为 $\frac{1}{2}$。$1 \equiv 2 * 499122177 \pmod{998244353}$。

对于第二次询问,如果第一次攻击扣减了Boss的生命值,那么有 $\frac{1}{2}$ 的概率第二次攻击仍扣减Boss的生命值,有 $\frac{1}{2}$ 的概率第二次攻击扣减随从的生命值;如果第一次攻击扣减了随从的生命值,那么现在又新召唤了一个随从(“恐怖的奴隶主”),于是有 $\frac{1}{3}$ 的概率第二次攻击扣减Boss的生命值,有 $\frac{2}{3}$ 的概率第二次攻击扣减随从的生命值。所以答案为 $\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*2+\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*1+\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*1+\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*0 = \frac{11}{12}$。$11 \equiv 12 * 415935148\pmod{998244353}$。

样例二

见“样例数据下载”

该组样例的数据范围(除询问组数 $T$ 外)同第7、8个测试点。

提示

题目顺序可能与难度无关。

限制与约定

在所有测试点中,$1 \leq T \leq 1000, 1 \leq n \leq {10}^{18}, 1 \leq m \leq 3, 1 \leq k \leq 8$。

各个测试点的分值和数据范围如下:

测试点编号分值$T=$$n\leq$$m=$$k=$
13101011
2828
37${10}^{18}$3
4127
5302035
6105006
7102007
851000
9101008
105500

时间限制:$2\texttt{s}$

空间限制:$512\texttt{MB}$

下载

样例数据下载