小 R 和室友小 B 在寝室里玩游戏。他们一共玩了
第
具体来说:
- 如果第
局游戏小 R 获胜,那么第 局游戏小 R 获胜的概率为 ,小 B 获胜的概率为 。 - 如果第
局游戏小 B 获胜,那么第 局游戏小 R 获胜的概率为 ,小 B 获胜的概率为 。
小 D 时常过来看小 R 和小 B 玩游戏,因此他知道某几局游戏的结果。他想知道在他已知信息的条件下,小 R 在
小 D 记性不太好,有时他会回忆起某局游戏的结果,并把它加入到已知信息中;有时他会忘记之前某局游戏结果,并把它从已知信息中删除。你的任务是:每当小 D 在已知信息中增加或删除一条信息时,根据小 D 记得的已知信息,帮助小 D 计算小 R 在
需要注意的是:如果小 D 忘了一局游戏的结果,之后又重新记起,两次记忆中的游戏结果不一定是相同的。你不需要关心小 D 的记忆是否与实际情况相符,你只需要根据他的记忆计算相应的答案。
输入格式
第一行两个正整数
接下来
接下来
add i c
表示小 D 回忆起了第 局比赛的结果,并把它加入到已知信息中。若 表示第 局比赛小 B 获胜,若 表示第 局比赛小 R 获胜。数据保证 均为整数且 ,如果这个操作不是第一个操作,保证在上一个操作结束后的已知信息中没有第 局比赛的结果。del i
表示小 D 忘记了第 局比赛的结果,并把它从已知信息中删除。数据保证 是整数且 ,保证在上一个操作结束后的已知信息中有第 局比赛的结果。
输出格式
对于每个操作,输出一行实数,表示操作结束后,在当前已知信息的条件下,小R在
样例一
input
3 3 A 0.3 0.5 0.2 0.9 0.8 add 1 1 add 3 0 del 1
output
2.350000 1.333333 0.432749
explanation
运用贝叶斯公式
第一问
第二问
第三问
其中
所以
其中
所以
样例二
见样例数据下载。
样例三
见样例数据下载。
评分标准
如果你的答案与正确答案的绝对误差在
如果你的所有答案均为正确,则得满分,否则得 0 分。
请注意输出格式:每行输出一个答案,答案只能为一个实数。每行的长度不得超过 50。错误输出格式会被判定为 0 分。
限制与约定
对于100%的数据,
对于100%的数据,输入保留最多四位小数。
本题共有20个数据点,每个数据点5分,每个测试点的具体约定如下表:
测试点 | 数据类型 | ||
---|---|---|---|
1-2 | A | ||
3-4 | B | ||
5-6 | A | ||
7-9 | B | ||
10-13 | B | ||
14-15 | C | ||
16-17 | D | ||
18-20 | A |
数据类型的含义:
A:无限制
B:
C:同一时刻,小 D 最多只有 1 条已知信息
D:同一时刻,小 D 最多只有 5 条已知信息
时间限制:
空间限制:
小R教你学数学
你可能会用到以下公式
条件概率的计算方法
我们记
表示在已知事件 发生时事件 发生的概率,条件概率可以用以下公式计算:其中
表示事件 和事件 同时发生的概率, 表示事件 发生的概率。贝叶斯公式(Bayes)
由条件概率的计算方法,我们容易得到贝叶斯公式
全概率公式
如果随机变量
有 个取值,分别为 那么
温馨提示
在本题中,如果你希望获得全部的分数,你可能需要考虑由于浮点数运算引入的误差。只使用加法和乘法运算不会引入太大的误差,但请谨慎使用减法和除法。
- 两个大小相近的数相减可以引入非常大的相对误差。
- 如果一个矩阵的行列式值非常小,那么求解该矩阵的逆可以带来相当大的误差。
当然,如果你的算法在数学上是正确的,但没有考虑浮点数运算的误差问题,可能仍然可以获得一部分的分数。