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#97. 【集训队互测2015】最优决策

统计

决策和计策是神犇。

又到了吔饭的时间,可是决策和计策没有时间去吔饭,于是他们决定选出一个人去带饭。

计策提议使用石头剪刀布决出胜负,但是决策觉得这样太没有技术含量,不能做出很有趣的决策,他提出了用这样一种小游戏决定胜负:

  1. 双方各有一个能量槽,可以存储至多 $n$ 点能量。
  2. 双方都有大技能,当能量槽满了的时候可以释放大技能,并消耗所有能量。
  3. 除了大技能之外有 $m$ 种小技能,编号为 $1, \dots, m$,分为三类:
    1. 消耗型,消耗 $x$ 个能量,只有能量不小于 $x$ 时才能使用。
    2. 免费型,不消耗能量,任何时候都可以使用。
    3. 补给型,使用后能获得 $x$ 个能量,但是使用后总能量如果超过 $n$ 点那么多余部分会被浪费掉。任何时候都可以使用。
  4. 技能之间有一些相克的关系。大技能克所有小技能。游戏规定了小技能间有若干个相克关系,每个关系形如:$i$ 号小技能克 $j$ 号小技能。其它技能之间没有相克关系。
  5. 每回合每个人必须选择一种可使用的技能,然后同时亮出。假如一方出的技能克对方出的技能,那么游戏结束该方获胜。否则双方更新自己的能量槽然后继续游戏。当然,如果同时出大技能那么双方都会清空能量槽然后继续游戏。
  6. 如果游戏永远都不会结束那么算作双方各赢 $0.5$ 场。

决策发现自己可以用 AI 跟计策打一局,这样就不用每次自己去花力气打了。

决策还发现每个游戏局面的最优策略只跟双方的能量槽有关,所以自己只需要给程序一张策略表,上面记录了每个状态下出每种技能的概率分别是多少就行了。

但是计策很有计策,决策知道计策会偷偷潜入他的电脑偷看他的程序和策略表。但是由于决策使用了当前系统时间作为随机种子,所以计策并不能知道这一次到底会出什么,只知道出每种技能的概率。

现在决策找到了你,请你找出一种方案使得自己的胜率不低于 $50\%$。

但同时计策也找到了你,他给了你决策的策略表,请你找出一种方案使得胜率最大。

与此同时鏼也找到了你,他给出了两个人的策略表,想请你算出每个人有多少的胜率。

策略表的输入输出格式

每个能量槽有 $n + 1$ 种状态,所以游戏局面共 $(n + 1)^2$ 种。很明显假如有人能量槽满了的话他一定会放大技能,所以策略表只用记录 $n^2$ 种局面的策略。

共 $n^2$ 行,第 $i$ 行(从 $0$ 开始编号)表示己方能量为 $\lfloor \frac{i}{n} \rfloor$,对方能量为 $i \bmod n$ 时的策略。

每个策略占一行,共 $m$ 个整数,分别表示使用小技能 $1, \dots, m$ 的概率乘以 $10^9$ 后的结果。保证这些数加起来为 $10^9$,保证当前不可使用的小技能的使用概率为 $0$(即某些消耗型)。

输入格式

多组数据。第一行为测试点编号,数据组数 $\mathrm{Case}$ 和数据类型 $\mathrm{type}$。

对于每一组数据,第一行两个正整数分别表示能量槽上限 $n$ 和小技能种类数 $m$。

若 $\mathrm{type}=1$ 则你需要解决鏼的询问,若 $\mathrm{type}=2$ 则你需要解决计策的询问,若 $\mathrm{type}=3$ 则你需要解决决策的询问。

接下来一行 $m$ 个整数 $v_1, \dots, v_m$ 分别表示小技能对能量槽的改变量,即使用后使用者的能量会加上 $v_i$。$v_i \lt 0$ 表示消耗型,$v_i = 0$ 表示免费型,$v_i>0$ 表示补给型。

接下来 $m$ 行每行 $m$ 个数,第 $i$ 行第 $j$ 列如果为 $1$ 表示 $i$ 号小技能克 $j$ 号小技能,如果为 $-1$ 表示 $j$ 号小技能克 $i$ 号小技能,如果为 $0$ 表示没有相克关系。保证对角线上元素均为 $0$ 且第 $i$ 行第 $j$ 列的元素等于第 $j$ 行第 $i$ 列的元素的相反数。

假如 $\mathrm{type} \neq 3$,接下来 $n^2$ 行为决策的策略表

假如 $\mathrm{type} = 1$,接下来 $n^2$ 行为计策的策略表。

输出格式

如果 $\mathrm{type} = 1$,输出一行一个浮点数表示决策的胜率,和标准答案的绝对误差在 $10^{-6}$ 之内均算作正确。

如果 $\mathrm{type} = 2$,输出一个策略表,设该策略表对决策的策略表的胜率为 $x$,我们提供的参考解胜率为 $y$,那么当 $x>y-10^{-6}$ 时算作正确。

如果 $\mathrm{type} = 3$,输出一个策略表,我们会生成一张策略表,设你的策略表对我们的策略表的胜率为 $x$,那么当 $x>0.5-10^{-6}$ 时算作正确。

注:测评时为了防止精度误差,在假如某个状态只有低于 $10^{-8}$ 的概率转移出死循环时直接将该状态胜率置为 $0.5$。

样例一

input

0 1 1
2 3
-1 0 1
0 0 1
0 0 0
-1 0 0
0 0 1000000000
0 1000000000 0
0 0 1000000000
333333334 333333333 333333333
0 0 1000000000
0 1000000000 0
0 0 1000000000
333333334 333333333 333333333

output

0.5000000000

样例二

input

0 1 2
2 3
-1 0 1
0 0 1
0 0 0
-1 0 0
0 0 1000000000
0 1000000000 0
0 0 1000000000
333333334 333333333 333333333

output

0 0 1000000000
0 1000000000 0
0 0 1000000000
333333334 333333333 333333333

样例三

input

0 1 3
2 3
-1 0 1
0 0 1
0 0 0
-1 0 0

output

0 0 1000000000
0 1000000000 0
0 0 1000000000
333333334 333333333 333333333

限制与约定

测试点编号 $\mathrm{Case}$ $n$ $m$ $\mathrm{type}$ 备注
1$= 1$$= 5$$= 30$$1$输入见样例数据及1号点下载中的 jc1.in
2$= 100$
3$= 100$$= 3$$= 5$$2$
4$= 30$$= 5$$= 30$
5$= 1$$= 3$$= 3$$3$游戏局面与样例一相同
6$= 1$$= 5$$= 3$
7$= 100$$= 2$$= 5$
8$= 100$$= 5$$= 5$
9$= 100$$= 2$$= 30$
10$= 10$$= 5$$= 30$

除了第 5,6 两个点,其他点数据均为随机生成。

随机生成方式:

  • 对于每个技能,有 $\frac{1}{3}$ 的概率是免费型,$\frac{1}{3}$ 是消耗型,$\frac{1}{3}$ 是补给型,且消耗型和补给型的 $x$ 的绝对值不超过 $3$。
  • 保证三种技能至少都有一个。
  • 小技能的相克关系生成方式:
    • 对于每一对技能,有 $20\%$ 的概率有相克关系:
      • 假如使用后能量损失相同则各有 $50\%$ 概率克对方。
      • 假如使用后不同则收益大的一方有 $20\%$ 的概率克对方,收益小的一方有 $80\%$ 的概率克对方。
      • 保证每个补给型技能至少被一个技能克。
    • 保证至少存在一个补给型技能使得只有消耗型技能才能克它。
  • 策略表生成方式:
    • 对于一个状态,把可使用的小技能的使用概率置为均等。由于必须要是 $10^{-9}$ 的整数倍有可能无法均匀分配,保证任意两个可使用的小技能的使用概率之差的绝对值不超过 $10^{-9}$。
    • 然后进行 $100$ 次操作,每次操作选择两个不同的可使用的小技能 $i, j$,产生一个 $10^{-9}$ 到 $i$ 技能的使用概率之间的均匀随机数 $\delta$,且 $\delta$ 为 $10^{-9}$ 的整数倍。将 $i$ 的概率减少 $\delta$,将 $j$ 的概率加上 $\delta$。

如果不理解可以参考1号点。

时间限制:$2\texttt{s}$

空间限制:$256\texttt{MB}$

来源

中国国家集训队互测2015 - By 邹逍遥

下载

样例数据及1号点下载