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#440. 【NOIP2018】填数游戏

统计

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天,他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个 $n\times m$ 的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字(数字 $0$ 或者数字 $1$),填数时需要满足一些限制。下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述,我们先给出一些定义:

  • 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子,即 $(x,y)$,其中,$x$ 为行坐标,$y$ 为列坐标。(注意:行列坐标均从 $0$ 开始编号);
  • 合法路径 $P$:一条路径是合法的当且仅当:
    1. 这条路径从矩形表格的左上角的格子 $(0,0)$ 出发,到矩形的右下角格子 $(n-1,m-1)$ 结束;
    2. 在这条路径中,每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子,或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。

例如:在下面这个矩形中,只有两条路径是合法的,它们分别是 $P_1:(0,0)\to (0,1)\to (1,1), \ P_2:(0,0)\to (1,0)\to (1,1)$。

game.png

对于一条合法的路径 $P$,我们可以用一个字符串 $w(P)$ 来表示,该字符串的长度为 $n+m-2$,其中只包含字符 R 或者字符 D,第 $i$ 个字符记录了路径 $P$ 中第 $i$ 步的移动方法,R 表示移动到当前格子右边与它相邻的格子,D 表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如,上图中对于路径 $P_1$,有 $w(P_1)=``\text{RD}"$;而对于另一条路径 $P_2$,有 $w(P_2)=``\text{DR}"$。

同时,将每条合法路径 $P$ 经过的每个格子上填入的数字依次连接后,会得到一个长度为 $n+m-1$ 的 $01$ 字符串,记为 $s(P)$。例如,如果我们在格子 $(0,0)$ 和 $(1,0)$ 上填入数字 $0$,在格子 $(0,1)$ 和 $(1,1)$ 上填入数字 $1$(见上图红色数字)。那么对于路径 $P_1$,我们可以得到 $s(P_1)=``011"$,对于路径 $P_2$,有 $s(P_2)=``001"$。

游戏要求小 D 找到一种填数字 $0,1$ 的方法,使得对于两条路径 $P_1,P_2$,如果 $w(P_1)\gt w(P_2)$,那么必须 $s(P_1)\le s(P_2)$。我们说字符串 $a$ 比字符串 $b$ 小,当且仅当字符串 $a$ 的字典序小于字符串 $b$ 的字典序,字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找⼀种方法无法满足小 D 的好奇心,小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法,也就是说,有多少种填数字的方法满足游戏的要求?

小 D 能力有限,希望你帮助他解决这个问题,即有多少种填 $0,1$ 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大,你需要输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

输入格式

输入文件,包含两个正整数 $n,m$,由一个空格分隔,表示矩形的大小。其中 $n$ 表示矩形表格的行数,$m$ 表示矩形表格的列数。

输出格式

输出共一行,包含一个正整数,表示有多少种填 $0,1$ 的方法能满足游戏的要求。

注意:输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

样例一

input

2 2

output

12

样例说明 1

game2.png

对于 $2\times 2$ 棋盘,有上图所示的 $12$ 种填数方法满足要求。

样例二

input

3 3

output

112

样例三

input

5 5

output

7136

限制与约定

对于所有子任务均满足 $1\ \leq\ n,m$。

测试点编号$n\le$$m\le$
$1\sim 4$$3$$3$
$5\sim 10$$2$$10^6$
$11\sim 13$$3$$10^6$
$14\sim 16$$8$$8$
$17\sim 20$$8$$10^6$

时间限制:$\texttt{1s}$。

空间限制:$\texttt{512MB}$。

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