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#397. 【NOI2018】情报中心

统计

C 国和 D 国近年来战火纷飞。

最近,C 国成功地渗透进入了 D 国的一个城市。这个城市可以抽象成一张有 $n$ 个节点,节点之间由 $n − 1$ 条双向的边连接的无向图,使得任意两个点之间可以互相到达, 也就是说这张无向图实际上是一棵树。

经过侦查,C 国情报部部长 GGB 惊讶地发现,这座看起来不起眼的城市竟然是 D 国的军事中心。因此 GGB 决定在这个城市内设立情报机构。情报专家 TAC 在侦查后,安排了 $m$ 种设立情报机构的方案。这些方案中,第 $i$ 种方案是在节点 $x_i$ 到节点 $y_i$ 的最短路径的所有边上安排情报人员收集情报,这种方案需要花费 $v_i$ 元的代价。

但是,由于人手不足,GGB 只能安排上述 $m$ 种方案中的两种进行实施。同时 TAC 指出,为了让这两个情报机构可以更好的合作,它们收集情报的范围应至少有一条公共的边。为了评估一种方案的性能,GGB 和 TAC 对所有的边进行了勘察,给每一条边制定了一个情报价值 $c_i$,表示收集这条边上的情报能够带来 $c_i$ 元的收益。注意,情报是唯一的,因此当一条边的情报被两个情报机构收集时,也同样只会有 $c_i$ 的收益。

现在,请你帮 GGB 选出两种合法的设立情报机构的方案进行实施,使得这两种方案收集情报的范围至少有一条公共的边,并且在此基础上总收益减去总代价的差最大。

注意,这个值可能是负的,但仍然是合法的。如果无法找到这样的两种方案,请输出 F

输入格式

从标准输入读入数据。

本题包含多组测试数据。

输入文件的第一行包含一个整数 $T$,表示数据组数;

每组数据包含 $(n + m + 1)$ 行:

第 $1$ 行包含一个整数 $n$,表示城市的点数;

第 $2$ 到第 $n$ 行中,第 $(i + 1)$ 行包含三个整数 $a_i$,$b_i$,$c_i$,表示城市中一条连接节点 $a_i$ 和 $b_i$、情报价值为 $c_i$ 的双向边,保证 $a_i < b_i$ 且 $b_i$ 互不相同;

第 $(n + 1)$ 行包含一个整数 $m$,表示 TAC 设立的 $m$ 种设立情报机构的方案;

第 $(n + 2)$ 到 $(n + m + 1)$ 行中,第 $(n + i + 1)$ 行包含三个整数 $x_i$,$y_i$,$v_i$,表示第 $i$ 种设立情报机构的方案是在节点 $x_i$ 到节点 $y_i$ 的最短路径上的所有边上安排情报人员收集情报,并且需要花费 $v_i$ 元的代价。

保证节点的编号是从 $ 1 $ 至 $ n $ 的,且 $ 1 \le a_i, b_i, x_i, y_i \le n $。

输出格式

输出到标准输出中。

输出文件包含 $T$ 行;

对于每组数据,输出一行:如果存在合法的方案,则输出一个整数表示最大的总收益减去总代价的差;否则输出 F

样例一

input

2
5
1 2 1
2 3 3
3 4 2
1 5 8
2
1 4 5
3 5 8
5
1 2 1
2 3 3
3 4 3
1 5 9
2
1 5 5
2 3 8

output

1
F

explanation

这个样例中包含两组数据。这两组数据的城市相同,只是在情报的价值和情报机构的方案上有所不同。城市地图如下:

5b55e7d3555b4.png
  • 对于第一组数据,方案一中的节点 $1$ 到节点 $4$ 的最短路径为 $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4$,方案二中的节点 $3$ 到节点 $5$ 的最短路径为 $3 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 5$。选择这两种方案需要花费 $5 + 8 = 13$ 的代价,并且每一条边的情报都被收集从而得到 $1 + 3 + 2 + 8 = 14$ 的收益,因此总收益减去总代价为 $14 − 13 = 1$。
  • 对于第二组数据,方案一中的节点 $1$ 到节点 $5$ 的最短路径为 $1 \rightarrow 5$,方案二中的节点 $2$ 到节点 $3$ 的最短路径为 $2 \rightarrow 3$。这两种方案收集情报的范围没有公共的边,因此非法,所以这组数据不存在合法方案,应输出 F

样例二

见下载文件中的 ex_center2.inex_center2.ans。 这个样例只包含一组数据。这一数据中,最优方案为选择第 $2$ 种和第 $3$ 种方案。

这组数据的城市地图如下,其中加粗的边表示被情报中心收集情报的边,红色的边表示只被第 $2$ 种方案的情报中心收集情报的边,蓝色的边表示只被第 $3$ 种方案的情报中心收集情报的边,紫色的边表示同时被两个情报中心收集情报的边。

5b55e7aab0a5c.png

样例三

见下载文件中的 ex_center3.inex_center3.ans

这个样例和第 $4$ 个测试点的性质相同。每个测试点的性质见下文的表格。

样例四

见下载文件中的 ex_center4.inex_center4.ans

这个样例包含了经过特殊构造的 $n\le 100,m\le 200$ 的测试数据,涵盖了测试点中所有出现性质的组合。你可以合理利用这个测试点,对自己的程序进行全面的检查。

这个样例,无疑是善良的出题人无私的馈赠。大量精心构造的 $n\le 100,m\le 200$ 的测试数据,涵盖了测试点中所有出现性质的组合。你可以利用这个测试点,对自己的程序进行全面的检查。足量的数据组数、不大的数据范围和多种多样的数据类型,能让程序中的错误无处遁形。出题人相信,这个美妙的样例,可以给拼搏于 AC 这道题的逐梦之路上的你,提供一个有力的援助。

限制与约定

各测试点的数据规模和性质如下表:

测试点$n \le$$m \le$$T \le 50$特殊性质
1$2$$3$保证
2$10$$30$保证
3$200$$300$保证
4$10^3$$2,000$保证$a_i = b_i - 1$
5$10^4$$3 \times 10^4$保证$a_i = b_i - 1$
6$5 \times 10^4$$10^5$保证$a_i = b_i - 1$
7$10^4$$3 \times 10^4$保证$c_i=0$
8$5 \times 10^4$$10^5$保证$c_i=0$
9$5 \times 10^4$$10^5$保证$c_i=0$
10$10^4$$n$保证$S_1$
11$5 \times 10^4$$n$不保证$S_1$
12$5 \times 10^4$$n$不保证$S_1$
13$10^4$$3 \times 10^4$保证$S_2$
14$10^4$$3 \times 10^4$保证$S_2$
15$5 \times 10^4$$10^5$不保证$S_2$
16$5 \times 10^4$$10^5$不保证$S_2$
17$10^4$$3 \times 10^4$保证
18$5 \times 10^4$$ 10^5$保证
19$5 \times 10^4$$ 10^5$不保证
20$5 \times 10^4$$ 10^5$不保证

表格中的特殊性质如下:

  • 特殊性质 $S_1$:对于任意 $i, j$,保证 $x_i$ 到 $y_i$ 的最短路径所经过的编号最小的节点不同于 $x_j$ 到 $y_j$ 的最短路径所经过的编号最小的节点;
  • 特殊性质 $S_2$:对于任意 $i$,保证 $x_i$ 到 $y_i$ 的最短路径所经过的编号最小的节点为节点 $1$。

对于所有的数据,$1 \le n \le 5 \times 10^4$,$0 \le m \le 10^5$,$0 \le c_i \le 10^9$,$0 \le v_i \le 10^{10} \times n$。每个测试点中,所有 $n$ 的和不会超过 $1, 000, 233$,所有 $m$ 的和不会超过 $2, 000, 233$。

时间限制:$8\texttt{s}$

空间限制:$512\texttt{MB}$

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