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#299. 【CTSC2017】游戏

统计

小 R 和室友小 B 在寝室里玩游戏。他们一共玩了 $n$ 局游戏,每局游戏的结果要么是小 R 获胜,要么是小 B 获胜。

第 $1$ 局游戏小 R 获胜的概率是 $p_1$,小 B 获胜的概率是 $1-p_1$。除了第一局游戏之外,每一局游戏小 R 获胜的概率与上一局游戏小 R 是否获胜有关。

具体来说:

  1. 如果第 $i-1\ (1< i\le n)$ 局游戏小 R 获胜,那么第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率为 $p_i$,小 B 获胜的概率为 $1-p_i$。
  2. 如果第 $i-1\ (1< i\le n)$ 局游戏小 B 获胜,那么第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率为 $q_i$,小 B 获胜的概率为 $1-q_i$。

小 D 时常过来看小 R 和小 B 玩游戏,因此他知道某几局游戏的结果。他想知道在他已知信息的条件下,小 R 在 $n$ 局游戏中获胜总局数的期望是多少。

小 D 记性不太好,有时他会回忆起某局游戏的结果,并把它加入到已知信息中;有时他会忘记之前某局游戏结果,并把它从已知信息中删除。你的任务是:每当小 D 在已知信息中增加或删除一条信息时,根据小 D 记得的已知信息,帮助小 D 计算小 R 在 $n$ 局游戏中获胜总局数的期望是多少。

需要注意的是:如果小 D 忘了一局游戏的结果,之后又重新记起,两次记忆中的游戏结果不一定是相同的。你不需要关心小 D 的记忆是否与实际情况相符,你只需要根据他的记忆计算相应的答案。

输入格式

第一行两个正整数 $n,m$ 和一个字符串 $type$。表示小 R 和小 B 一共玩了 $n$ 局游戏,小 D 一共进行了 $m$ 次修改已知信息的操作,该数据的类型为 $type$。$type$ 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分,你可能不需要用到这个输入,其具体含义见限制与约定

接下来 $n$ 行,第 $1$ 行包含一个实数 $p_1$,表示第一局比赛小R获胜的概率是 $p_1$。第 $i\ (1< i \le n)$ 行包含两个实数 $p_i,q_i$。表示在第 $i-1$ 局游戏小 R 获胜的情况下,第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率是 $p_i$;$q_i$ 表示在第 $i-1$ 局游戏小 B 获胜的情况下,第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率是 $q_i$。

接下来 $m$ 行,每行描述一个小 D 已知信息的变化,操作分为两类。

  1. add i c 表示小 D 回忆起了第 $i$ 局比赛的结果,并把它加入到已知信息中。若 $c=0$ 表示第 $i$ 局比赛小 B 获胜,若 $c=1$ 表示第 $i$ 局比赛小 R 获胜。数据保证 $i,c$ 均为整数且 $1\le i \le n,0\le c \le 1$,如果这个操作不是第一个操作,保证在上一个操作结束后的已知信息中没有第 $i$ 局比赛的结果。
  2. del i 表示小 D 忘记了第 $i$ 局比赛的结果,并把它从已知信息中删除。数据保证 $i$ 是整数且 $1\le i \le n$,保证在上一个操作结束后的已知信息中有第 $i$ 局比赛的结果。

输出格式

对于每个操作,输出一行实数,表示操作结束后,在当前已知信息的条件下,小R在 $n$ 局游戏中总共获胜的局数的期望是多少。

样例一

input

3 3 A
0.3
0.5 0.2
0.9 0.8
add 1 1
add 3 0
del 1

output

2.350000
1.333333
0.432749

explanation

运用贝叶斯公式

第一问

$$p(x_2=1|x_1=1)=0.5,p(x_3=1|x_1=1)=0.5*0.9+0.5*0.8=0.85,E(x_1+x_2+x_3|x_1=1)=0.5+0.85+1=2.35$$

第二问

$$p(x_2=1|x_1=1,x_3=0)=\frac{p(x_3=0|x_1=1,x_2=1)p(x_2=1|x_3=0)}{p(x_3=0|x_1=1)} \approx 0.333,E(x_1+x_2+x_3|x_1=1,x_3=0) \approx 1.333$$

第三问

$$p(x_2=1|x_3=0)=\frac{p(x_3=0|x_2=1)p(x_2=1)}{p(x_3=0)}$$

其中

$$p(x_3=0|x_2=1)=0.1,p(x_2=1)=0.3*0.5+0.7*0.2=0.29,p(x_3=0)=0.29*0.1+0.71*0.2=0.171$$

所以

$$p(x_2=1|x_3=0)=0.1*0.29/0.171 \approx 0.16959$$

$$p(x_1=1|x_3=0)=\frac{p(x_3=0|x_1=1)p(x_1=1)}{p(x_3=0)}$$

其中

$$p(x_3=0|x_1=1)=0.5*0.1+0.5*0.2=0.15,p(x_1=1)=0.3,p(x_3=0)=0.171$$

所以

$$p(x_1=1|x_3=0)=0.15*0.3/0.171 \approx 0.26316$$

$$E(x_1+x_2+x_3|x_3=0) \approx 0.43275$$

样例二

见样例数据下载。

样例三

见样例数据下载。

评分标准

如果你的答案与正确答案的绝对误差在 $10^{-4}$ 以内,则被判定为正确。

如果你的所有答案均为正确,则得满分,否则得 0 分。

请注意输出格式:每行输出一个答案,答案只能为一个实数。每行的长度不得超过 50。错误输出格式会被判定为 0 分。

限制与约定

对于100%的数据,$1\le n\le 200000, 1\le m \le 200000,0 < p_i,q_i < 1$。

对于100%的数据,输入保留最多四位小数

本题共有20个数据点,每个数据点5分,每个测试点的具体约定如下表:

测试点 $n$ $m$ 数据类型
1-2$\le 10$$\le 20$A
3-4$\le 100$$\le 100$B
5-6$\le 1000$$\le 5000$A
7-9$\le 2000$$\le 5000$B
10-13$\le 10000$$\le 200000$B
14-15$\le 200000$$\le 200000$C
16-17D
18-20A

数据类型的含义:

A:无限制

B:$\forall i > 1,|p_i-q_i| > 0.999$

C:同一时刻,小 D 最多只有 1 条已知信息

D:同一时刻,小 D 最多只有 5 条已知信息

时间限制:$1\texttt{s}$

空间限制:$512\texttt{MB}$

小R教你学数学

可能会用到以下公式

  1. 条件概率的计算方法

    我们记 $p(A|B)$ 表示在已知事件 $B$ 发生时事件 $A$ 发生的概率,条件概率可以用以下公式计算:

    $$p(A|B)=\frac{p(AB)}{p(B)}$$

    其中$p(AB)$表示事件 $B$ 和事件 $A$ 同时发生的概率,$p(B)$ 表示事件 $B$ 发生的概率。

  2. 贝叶斯公式(Bayes)

    由条件概率的计算方法,我们容易得到贝叶斯公式

    $$p(A|B)=\frac{p(B|A)p(A)}{p(B)}$$

  3. 全概率公式

    如果随机变量 $x$ 有 $k$ 个取值,分别为 $x_1,x_2,\ldots,x_k$ 那么

    $$p(A)=\sum_{i=1}^k p(A|x=x_i)p(x=x_i)$$

温馨提示

在本题中,如果你希望获得全部的分数,你可能需要考虑由于浮点数运算引入的误差。只使用加法和乘法运算不会引入太大的误差,但请谨慎使用减法和除法。

  1. 两个大小相近的数相减可以引入非常大的相对误差。
  2. 如果一个矩阵的行列式值非常小,那么求解该矩阵的逆可以带来相当大的误差。

当然,如果你的算法在数学上是正确的,但没有考虑浮点数运算的误差问题,可能仍然可以获得一部分的分数。

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