【CTSC2016】NOIP十合一 - 题目 - Universal Online Judge

在 NOIP2044 的赛场上，小 D 遇到了这样一道题：

给出一个 $n$ 个点的图，其中有 $m$ 条带边权的有向边，有 $q$ 个询问，每个询问形如从 $u$ 号点走到 $v$ 号点，长度为 $w$ 的道路数量有多少？你只需要输出答案对 $P$ 取模的结果即可。

小 D 思考了良久也不会做这道题，悻悻离场后，他从官网上取得了这道题的数据，共有 $10$ 组数据。小 D 怎么也想做出来这道题，于是他开始寻求你的帮助，将 $10$ 组数据的输入给了你。聪明的你一定可以帮小 D 计算出每组数据的输出的！

输入文件 noip1.in~noip10.in 已经在下载文件中。

每个输入文件的第一行包括 $4$ 个正整数 $n, m, q, P$ ，表示图中点数、边数、询问数目以及模数。点的编号为从 $1$ 到 $n$ 的整数。

接下来 $m$ 行每行描述 $m$ 条带权有向边，其中第 $i$ 行包含 $3$ 个整数 $a_{i}, b_{i}, c_{i}$ ，表示第 $i$ 条边的起点为 $a_{i}$ ，终点为 $b_{i}$ ，权值为 $c_{i}$ 。

接下来 $q$ 行描述询问，其中第 $k$ 行包含 $3$ 个整数 $u_{k}, v_{k}, w_{k}$ ，表示第 $k$ 个询问需要输出从 $u_{k}$ 号店走到 $v_{k}$ 号点，长度为 $w_{k}$ 的道路数量对 $P$ 取模的结果。

输出文件为 noip1.out~noip10.out，分别对应相应的输入文件。

每个输出文件中不超过 $q$ 行，每行包含一个小于 $P$ 的非负整数，表示该测试点前 $q$ 个询问的答案。

2
1

对于第一组询问，一共有两条从 $1$ 号点到 $3$ 号点、长度为 $5$ 的路径。假定边的编号从 $1$ 到 $4$ ，则这两条路径经过的边为：

第 $1$ 条： $2 \to 4$

第 $2$ 条： $1 \to 1 \to 3$ 。

每个测试点单独评分。每个测试点你还可能获得部分分。

最终评测时，我们将根据你在每个数据中回答正确的询问个数进行积分。

如果你的输出不超过 $q$ 行，且每行只包含一个不超过 $P$ 的非负整数，在最终评测时我们将认为你在第 $i$ 行的输出是在回答对应测试点的第 $i$ 个询问。

对于每个测试点，我们设置了 $10$ 个评分参数 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{10}$ 。在你的方案中，若正确回答的询问个数为 $w_{user}$ ，你的分数将会由下表给出（若符合表中多个条件，取分数最高的）：

如果你的输出不符合格式要求，例如出现不小于 $P$ 的整数或负数，输出超过了 $q$ 行等，我们将不保证你能得到分数。

评分参数文件 noip.score 已在试题目录下。该文件共 $10$ 行，第 $i$ 行描述测试点 $i$ 的评分参数。每行包含 $10$ 个整数，依次表示 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{10}$ 。

本题可能用到的知识：

特征多项式：对于 $n \times n$ 的矩阵 $A$ ，定义以 $λ$ 为变量的 $n$ 次多项式 $f (λ) = det (λ I - A)$ ，其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵， $det$ 是行列式。称 $f (λ)$ 为 $A$ 的特征多项式。

Cayley-Hamilton 定理：对于方阵 $A$ 的特征多项式 $f (λ)$ ，一定有 $f (A) = 0$ 。即将矩阵本身作为变量带入特征多项式，结果为零矩阵。

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