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#130. 【NOI2015】荷马史诗

统计

追逐影子的人,自己就是影子。 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后,细细地品上一杯卡布奇诺,静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了,Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有 $n$ 种不同的单词,从 $1$ 到 $n$ 进行编号。其中第 $i$ 种单词出现的总次数为 $w_i$。Allison 想要用 $k$ 进制串 $s_i$ 来替换第 $i$ 种单词,使得其满足如下要求:

对于任意的 $1 \leq i, j \leq n$,$i \neq j$,都有:$s_i$ 不是 $s_j$ 的前缀。

现在 Allison 想要知道,如何选择 $s_i$,才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下,Allison 还想知道最长的 $s_i$ 的最短长度是多少?

一个字符串被称为 $k$ 进制字符串,当且仅当它的每个字符是 $0$ 到 $k − 1$ 之间(包括 $0$ 和 $k − 1$)的整数。

字符串 $\mathrm{Str1}$ 被称为字符串 $\mathrm{Str2}$ 的前缀,当且仅当:存在 $1 \leq t \leq m$,使得 $\mathrm{Str1} = \mathrm{Str2}[1..t]$。其中,$m$ 是字符串 $\mathrm{Str2}$ 的长度,$\mathrm{Str2}[1..t]$ 表示 $\mathrm{Str2}$ 的前 $t$ 个字符组成的字符串。

输入格式

输入文件的第 $1$ 行包含 $2$ 个正整数 $n, k$,中间用单个空格隔开,表示共有 $n$ 种单词,需要使用 $k$ 进制字符串进行替换。

接下来 $n$ 行,第 $i + 1$ 行包含 $1$ 个非负整数 $w_i$,表示第 $i$ 种单词的出现次数。

输出格式

输出文件包括 2 行。

第 $1$ 行输出 $1$ 个整数,为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

第 $2$ 行输出 $1$ 个整数,为保证最短总长度的情况下,最长字符串 $s_i$ 的最短长度。

样例一

input

4 2
1
1
2
2

output

12
2

explanation

用 $X_{(k)}$ 表示 $X$ 是以 $k$ 进制表示的字符串。

一种最优方案:令 $00_{(2)}$ 替换第 $1$ 种单词,$01_{(2)}$ 替换第 $2$ 种单词,$10_{(2)}$ 替换第 $3$ 种单词,$11_{(2)}$ 替换第 $4$ 种单词。在这种方案下,编码以后的最短长度为:

$1 \times 2 + 1 \times 2 + 2 \times 2 + 2 \times 2 = 12$

最长字符串 $s_i$ 的长度为 $2$。

一种非最优方案:令 $000_{(2)}$ 替换第 $1$ 种单词,$001_{(2)}$ 替换第 $2$ 种单词,$01_{(2)}$ 替换第 3 种单词,$1_{(2)}$ 替换第 $4$ 种单词。在这种方案下,编码以后的最短长度为:

$1 \times 3 + 1 \times 3 + 2 \times 2 + 2 \times 1 = 12$

最长字符串 $s_i$ 的长度为 $3$。与最优方案相比,文章的长度相同,但是最长字符串的长度更长一些。

样例二

input

6 3
1
1
3
3
9
9

output

36
3

explanation

一种最优方案:令 $000_{(3)}$ 替换第 $1$ 种单词,$001_{(3)}$ 替换第 $2$ 种单词,$01_{(3)}$ 替换第 $3$ 种单词,$02_{(3)}$ 替换第 $4$ 种单词,$1_{(3)}$ 替换第 $5$ 种单词,$2_{(3)}$ 替换第 $6$ 种单词。

样例三

见样例数据下载。

限制与约定

测试点编号$n$ 的规模$k$ 的规模备注约定
1$n = 3$$k = 2$$0 < w_i \leq 10^{11}$
2$n = 5$$k = 2$
3$n = 16$$k = 2$所有 $w_i$ 均相等
4$n = 1000$$k = 2$$w_i$ 在取值范围内均匀随机
5$n = 1000$$k = 2$
6$n = 100000$$k = 2$
7$n = 100000$$k = 2$所有 $w_i$ 均相等
8$n = 100000$$k = 2$
9$n = 7$$k = 3$
10$n = 16$$k = 3$所有 $w_i$ 均相等
11$n = 1001$$k = 3$所有 $w_i$ 均相等
12$n = 99999$$k = 4$所有 $w_i$ 均相等
13$n = 100000$$k = 4$
14$n = 100000$$k = 4$
15$n = 1000$$k = 5$
16$n = 100000$$k = 7$$w_i$ 在取值范围内均匀随机
17$n = 100000$$k = 7$
18$n = 100000$$k = 8$$w_i$ 在取值范围内均匀随机
19$n = 100000$$k = 9$
20$n = 100000$$k = 9$

对于所有数据,保证 $2 \leq n \leq 100000$,$2 \leq k \leq 9$。

选手请注意使用 64 位整数进行输入输出、存储和计算。

时间限制:$1\texttt{s}$

空间限制:$512\texttt{MB}$

评分方式

对于每个测试点:

若输出文件的第 $1$ 行正确,得到该测试点 40% 的分数;

若输出文件完全正确,得到该测试点 100% 的分数。

下载

样例数据下载