一、关于多项式反双曲余弦

双曲余弦是$\operatorname{ch}F(x)=\frac{\exp(F(x))+\exp(-F(x))}2$。

其中$F(x)$必须满足$[x^0]F(x)=0$，因此最后得到的$G(x)=\operatorname{ch} F(x)$一定满足$[x^0]G(x)=1$。

所以反双曲余弦$\operatorname{arch}F(x)$应该必须满足$[x^0]F(x)=1$才有意义。

根据反双曲余弦的定义$\operatorname{arch}F(x)=\ln(F(x)+\sqrt{(F(x))^2-1})$，必须满足$[x^0](F(x)+\sqrt{(F(x))^2-1})=1$才有意义。解出来应该也是$[x^0]F(x)=1$。

但是如果我们看反双曲余弦的导数$(\operatorname{arch}F(x))'=\frac{F'(x)}{\sqrt{(F(x))^2-1}}$，当$[x^0]F(x)=1$时根号里面的常数项就为$0$，就不一定保证能够开出根。

所以如果要$\operatorname{arch}F(x)$有意义，$[x^0]F(x)$必须要满足什么条件？

在EI大佬的指点和Itst大佬的帮助下上面这个问题已经解决了。

关于多项式高次根的一些小问题已经解决了。